Licenciatura en Ciencias Matemáticas -
Detalle de Asignaturas
Primer Año
5111.- Álgebra I
- Duración
- Cuatrimestral - 7hs. semanales (3 Teoría + 4 Práctica)
- Contenidos Mínimos
- Números naturales. Inducción. Combinatoria. Polinomios. Números
complejos. Vectores en el plano y el espacio. Ángulo entre
vectores, distancia, norma, desigualdad de Cauchy-Schwartz.
Producto escalar, vectorial y mixto. Ecuación de la recta y del
plano. Cónicas y cuádricas. Sistemas de ecuaciones lineales.
Matrices. Determinantes. Regla de Cramer. Métodos de escalonamiento
(pivote, triangulación, Gauss, factorización LU).
5112.- Análisis Matemático
I
- Duración
- Cuatrimestral - 7hs. semanales (3 Teoría + 4 Práctica)
- Contenidos Mínimos
- Funciones en R. Sucesiones. Límite, continuidad y derivada en
R. Aproximaciones de números reales. Teoremas del Valor Medio.
Desarrollo en serie de potencias (Taylor); convergencia. Máximos y
mínimos. Integral definida e indefinida. Técnicas de integración.
Aplicaciones geométricas y físicas (áreas, volúmenes, longitud de
curvas).
5113.- Taller de
Computación
- Duración
- Cuatrimestral - 6hs. semanales (2 Teoría + 4 Práctica)
- Contenidos Mínimos
- Sistema Operativo: hardware, archivos, instalación de software.
Procesador de texto: formato, tablas, editor de ecuaciones,
imágenes. Planilla de cálculo: datos, fórmulas, gráficos, fijación
de fila/columna, etc. Software matemático programable para la
resolución algorítmica de problemas: operaciones aritméticas,
sentencias específicas, funciones predefinidas, gráficos. Elementos
de programación: estructuras de datos, variables locales/globales,
parámetros, procedimientos y funciones, estructuras de control
(condición, ciclo, conectivos, negación, etc). Diseño y
especificación de algoritmos.
5121.- Matemática
Discreta
- Duración
- Cuatrimestral - 6hs. semanales (3 Teoría + 3 Práctica)
- Contenidos Mínimos
- Lógica proposicional. Conjuntos. Relaciones. Números enteros.
Funciones parte entera. Técnicas de suma. Congruencia. Introducción
a las estructuras algebraicas: monoide, semigrupo, grupo, cuerpos
finitos, álgebras. Álgebra libre. Morfismos. Álgebras de Boole.
Elementos de estimación asintótica, complejidad. Sucesiones
recurrentes. Funciones generadoras.
5122.- Álgebra
Lineal
- Duración
- Cuatrimestral - 7hs. semanales (3 Teoría + 4 Práctica)
- Contenidos Mínimos
- Espacios vectoriales: grupos y cuerpos. Independencia lineal.
Transformaciones lineales. Autovalores y autovectores. Espacios
propios y diagonalización. Espacios con producto interno. Bases
ortogonales y ortonormales (Gram-Schmidt). Proyección ortogonal.
Transformaciones ortogonales: rotaciones y reflexiones. Formas
bilineales y cuadráticas; diagonalización. Ley de inercia.
Clasificación afín y euclídea de funciones cuadráticas. Cónicas y
cuádricas.
5123.- Elementos de
Física
- Duración
- Cuatrimestral - 6hs. semanales (3 Teoría + 3 Práctica)
- Contenidos Mínimos
- Sistema de coordenadas. Función movimiento; trayectoria.
Función velocidad; velocidad media e instantánea. Función
aceleración. Relación entre posición, velocidad y aceleración.
Movimiento bidimensional. Coordenadas cartesianas y polares.
Movimiento, velocidad y aceleración vectorial. Movimiento
curvilíneo y circular; aceleración tangencial y normal. Velocidad
angular. Movimiento de un cuerpo en el espacio. Dinámica puntual;
masa. Leyes de Newton. Caída libre y movimiento oscilatorio.
Fuerzas: centrípeta, de rozamiento, de gravedad, angulares. Trabajo
y energías cinética y potencial. Ecuaciones de movimiento. Fuerzas
conservativas. Momentos. Dinámica y cinemática del cuerpo rígido.
Momento de inercia. Problemas diversos, interpretaciones físicas y
matemáticas.
Segundo Año
5211.- Complementos de
Análisis
- Duración
- Cuatrimestral - 6hs. semanales (3 Teoría + 3 Práctica)
- Contenidos Mínimos
- Funciones trigonométricas: identidades, propiedades analíticas
y geométricas. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Teoremas de
continuidad y derivada en R. Sucesiones de Cauchy. El número e;
función exponencial y logaritmo. Criterios de convergencia de
series numéricas. Sucesiones y series de funciones. Lema de Abel.
Series de potencias. Teoremas de aproximación. Integrales
impropias.
5212.- Análisis Matemático
II
- Duración
- Cuatrimestral - 7hs. semanales (3 Teoría + 4 Práctica)
- Contenidos Mínimos
- Funciones de varias variables reales; derivación y continuidad.
Curvas y superficies de nivel. Derivada parcial y direccional.
Fórmula de Taylor para campos escalares. Máximos y mínimos.
Extremos condicionados. Integrales múltiples. Funciones
vectoriales. Curvatura. Integrales de línea y de superficie.
Gradiente, Divergencia, Rotor y Flujo. Coordenadas esféricas y
cilíndricas. Teoremas de Stokes y de Green. Introducción a las
ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden.
5213.- Elementos de Lógica
y Teoría de Conjuntos
- Duración
- Cuatrimestral - 6hs. semanales (3 Teoría + 3 Práctica)
- Contenidos Mínimos
- Lenguajes proposicionales. Tablas de verdad. Valuaciones.
Consecuencia semántica. Formas normales. Lógica de predicados.
Estructuras de 1er. Orden. Axiomas de la teoría de conjuntos.
Álgebra de conjuntos. Álgebras de Boole. Relaciones y funciones.
Conjuntos numéricos. Sistemas de Peano. Teorema de recursión.
Cardinales. Conjuntos contables. Aritmética cardinal. Axioma de
elección y equivalencias.
5221.- Álgebra II
- Duración
- Cuatrimestral - 6hs. semanales (3 Teoría + 3 Práctica)
- Contenidos Mínimos
- Transformaciones afines, movimientos, semejanzas.
Diagonalización de matrices. Polinomio minimal y característico.
Triangulación de matrices y forma normal de Jordan. Endomorfismos;
subespacios invariantes. Descomposición primaria. Formas canónicas.
Forma de Schmidt. Espacios con producto interno. Formas
hermitianas; operadores positivos, adjuntos, autoadjuntos,
unitarios; aplicaciones. Teorema espectral para operadores
normales. Aplicaciones varias: sucesiones recurrentes, ecuaciones
en diferencias, etc.
5222.- Topología I
- Duración
- Cuatrimestral - 6hs. semanales (3 Teoría + 3 Práctica)
- Contenidos Mínimos
- Espacios métricos. Sucesiones en espacios métricos. Espacios
métricos completos y compactos. Homeomorfismos. Contracciones.
Teorema del punto fijo. Completamiento de un espacio métrico.
Sucesiones de funciones. Espacios de funciones. Teorema de Dini.
Álgebra de funciones. Teorema de Ascoli. Diferenciación en R n .
Jacobianos. Regla de la cadena. Teorema del valor medio. Teorema de
Taylor. Teorema de la función implícita. Teorema de la función
abierta .
5223.- Probabilidad y
Estadística Matemática
- Duración
- Cuatrimestral - 8hs. semanales (4 Teoría + 4 Práctica)
- Contenidos Mínimos
- Teoría básica de probabilidad. Variables aleatorias (VA) uni y
bidimensionales. Distribuciones condicionales y marginales,
independencia. Funciones de VA; densidades. Distribuciones de
probabilidad discretas y continuas. Funciones generadoras. Ley de
los grandes números y teorema del límite central. Desigualdades de
Tchebychev y Markov. Muestreo y distribuciones muestrales.
Estadísticos. Estimación: propiedades y métodos. Pruebas de
hipótesis. Teoría de regresión; cuadrados mínimos. ANOVA: modelo I.
Introducción a la estadística no paramétrica. Utilización de un
paquete estadístico para la resolución de problemas vinculados a
los contenidos.
Tercer Año
5311.- Topología
II
- Duración
- Cuatrimestral - 6hs. semanales (3 Teoría + 3 Práctica)
- Contenidos Mínimos
- Espacios topológicos. Bases y sub-bases de un espacio
topológico. Funciones continuas. Topologías débiles. Álgebras de
funciones reales y complejas. Espacios compactos. Espacios
producto. Teorema de Tychonoff. Compactificación de Alexandroff.
Espacios T 1 y espacios de Hausdorff. Espacios completamente
regulares y espacios normales. Lema de Urysohn. Teorema de
extensión de Tietze. Teorema de metrización de Urysohn. Espacios
conexos. Teorema de aproximación de Weierstrass. Los teoremas de
Stone-Weierstrass, caso real y caso complejo.
5312.- Análisis Matemático
III
- Duración
- Cuatrimestral - 7hs. semanales (3 Teoría + 4 Práctica)
- Contenidos Mínimos
- Números complejos. Funciones analíticas. Integrales de
contorno. Teorema de Cauchy-Goursat. Fórmula integral de Cauchy.
Series de potencias, de Laurent y de Taylor. Funciones holomorfas.
Teorema de los residuos. Ceros y polos. Integrales impropias.
Transformaciones conformes y de Laplace. Series de Fourier,
transformada de Fourier, identidad de Parseval.
5313.- Ecuaciones
Diferenciales I
- Duración
- Cuatrimestral - 6hs. semanales (3 Teoría + 3 Práctica)
- Contenidos Mínimos
- Ecuaciones de primer orden. Ecuaciones lineales de primer
orden. Ecuaciones de variables separables. Ecuaciones exactas.
Ecuaciones homogéneas. Teoremas de existencia y unicidad.
Ecuaciones lineales de segundo orden. Ecuación homogénea con
coeficientes constantes. El problema de la inhomogeneidad.
Soluciones de ecuaciones lineales de segundo orden con series de
potencias. Aplicaciones.
5321.- Funciones Reales
I
- Duración
- Cuatrimestral - 6hs. semanales (3 Teoría + 3 Práctica)
- Contenidos Mínimos
- Propiedades de la recta real. Conjuntos de medida 0; ejemplos.
Medida de Lebesgue en R. Funciones y conjuntos medibles;
propiedades. Funciones monótonas, de variación acotada, continuas.
Teorema de Caratheodory. Medida de Lebesgue en R n. Teorema de
Lusin. Medidas con signo.
5322.- Cálculo
Numérico
- Duración
- Cuatrimestral - 8hs. semanales (4 Teoría + 4 Práctica)
- Contenidos Mínimos
- Errores. Propagación. Ceros de funciones no lineales. Métodos
de bisección, Newton-Raphson, secante. Sistemas de ecuaciones
lineales. Método de Gauss. Pivoteo. Mejoramiento iterativo de la
solución. Interpolación polinomial: Lagrange, Hermite. Diferencias
divididas. Forma de Newton. Aproximación de funciones. Polinomios
de Tchebycheff, de Legendre, de Gram. Transformada rápida de
Fourier. Integración numérica. Métodos de rectángulos, de trapecios
de Simpson. Ecuaciones diferenciales. Métodos de Euler, de
Runge-Kutta de orden 2 y 4. Ecuaciones de orden superior;
sistemas.
5323.- Álgebra III
- Duración
- Cuatrimestral - 6hs. semanales (3 Teoría + 3 Práctica)
- Contenidos Mínimos
- Operaciones binarias internas. Grupos: propiedades y ejemplos.
Subgrupos. Grupos cíclicos. Teoremas de Lagrange, Euler, Fermat.
Homomorfismos de grupos; núcleo e imagen. Subgrupos normales. Grupo
cociente. Teoremas de isomorfismo. Grupo de permutaciones. Teorema
de Cayley. Productos directos. Subgrupos de Sylow. Teorema de
estructura para grupos abelianos finitamente generados. Anillos.
Subanillos. Ideales. Morfismos. Anillos cocientes. Dominios.
Anillos de división. Dominios euclideanos, de factorización única y
principales. Característica de un anillo. Cuerpos. Cuerpo de
fracciones de un dominio de integridad. Factorización de polinomios
sobre un cuerpo. Extensiones de cuerpos; extensiones algebraicas y
trascendentes. Números algebraicos.
Cuarto Año
5411.- Funciones Reales
II
- Duración
- Cuatrimestral - 6hs. semanales (3 Teoría + 3 Práctica)
- Contenidos Mínimos
- Integral de Lebesgue: funciones simples, no negativas,
medibles; propiedades. Teoremas de convergencia. Lema de Fatou.
Espacios L p. Desigualdades de Schwartz, Hölder, Minkowski.
Completitud y dualidad de los espacios L p. Teorema de Fubini y
Tonelli; aplicaciones. Diferenciación e integración.
5412.- Geometría
Diferencial
- Duración
- Cuatrimestral - 8hs. semanales (4 Teoría + 4 Práctica)
- Contenidos Mínimos
- Curvas en el plano y el espacio. Curvas suaves y regulares.
Longitud de arco. Curvatura y torsión. Superficies en el espacio.
Superficies regulares; ejemplos (plano, cono, cilindro, esfera S 2
, toro, superficies de revolución) y coordenadas. Valor regular. La
diferencial. Geometría de la primera forma cuadrática. Isometrías.
Planos tangentes. Campos vectoriales: normal y tangente.
Superficies orientables. Aplicación normal de Gauss: propiedades y
segunda forma cuadrática. Curvatura: normal, principal, gaussiana y
media. Puntos elípticos, parabólicos, hiperbólicos y planares.
Líneas de curvatura.
5413.- Modelización
Matemática
- Duración
- Cuatrimestral - 6hs. semanales (3 Teoría + 3 Práctica)
- Contenidos Mínimos
- Tópicos de optimización. Programación lineal. Introducción a la
teoría de juegos. Elementos de series de tiempo. Procesos de
Markov. Conjuntos difusos. Métodos de Montecarlo y aplicaciones.
Argumentos de estabilidad discretos y continuos.
5421.- Ecuaciones
diferenciales II
- Duración
- Cuatrimestral - 6hs. semanales (3 Teoría + 3 Práctica)
- Contenidos Mínimos
- Ecuaciones diferenciales con puntos singulares (teorema de
Fuchs). Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales; ecuaciones
inhomogéneas y variación de parámetros. Diagramas de fase. Método
de Euler. Aproximación de Taylor. Ecuaciones diferenciales
ordinarias de orden n. Ecuaciones en derivadas parciales.
Ecuaciones parabólicas, hiperbólicas y elípticas. Ecuación del
calor. Ecuación de ondas. Cuerda y barra vibrantes. Laplaciano.
Problemas de Dirichlet. Métodos implícitos (Crank-Nicholson).
5422.- Álgebra IV
- Duración
- Cuatrimestral - 6hs. semanales (3 Teoría + 3 Práctica)
- Contenidos Mínimos
- Álgebras sobre un cuerpo. Morfismos. Ideales maximales y
primos. Producto de anillos. Teorema chino del resto. Módulos.
Morfismos. Módulos libres. Módulos simples. Suma, intersección,
suma directa y producto directo de módulos. Cociente. Módulos
artinianos, noetherianos, semisimples. Anillos semisimples. Torsión
y divisibilidad. Teorema de estructura para módulos finitamente
generados sobre dominios principales.
Quinto Año
5511.- Análisis IV
- Duración
- Cuatrimestral - 6hs. semanales (3 Teoría + 3 Práctica)
